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Mitte von 3 Koordinaten berechnen

robbi_kl

Geowizard
Gegeben sind 3 Koordinatenpaare, die ein Dreieck bilden. Gesucht ist der Punkt im Dreieck, der zu allen 3 Koordinaten den gleichen Abstand hat.

In einem Dreieck gibt es ja u.a. den Schwerpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Umkreismittelpunkt. Sehe ich es richtig, dass hier der Umkreismittelpunkt gesucht ist?

Falls das stimmt, wie berechne ich ihn anhand der gegebenen 3 Koordinaten? Prinzipiell finde ich zwar reichlich Formeln für die Berechnung, aber mir ist unklar, wie ich damit zu Koordinaten komme. Den Radius des Umkreises habe ich bereits ermittelt, aber nicht seine Lage. Eine zeichnerische Ermittlung ist zu ungenau.

Wie funktioniert das?
 
robbi_kl schrieb:
Gegeben sind 3 Koordinatenpaare, die ein Dreieck bilden. Gesucht ist der Punkt im Dreieck, der zu allen 3 Koordinaten den gleichen Abstand hat.

In einem Dreieck gibt es ja u.a. den Schwerpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Umkreismittelpunkt. Sehe ich es richtig, dass hier der Umkreismittelpunkt gesucht ist?

Falls das stimmt, wie berechne ich ihn anhand der gegebenen 3 Koordinaten? Prinzipiell finde ich zwar reichlich Formeln für die Berechnung, aber mir ist unklar, wie ich damit zu Koordinaten komme. Den Radius des Umkreises habe ich bereits ermittelt, aber nicht seine Lage. Eine zeichnerische Ermittlung ist zu ungenau.

Wie funktioniert das?


Normalerweise (als Beispiel) 1. N 49°25.333 E 007°56.444 - 2. N 49°45.444 E 006°54.444 - 3. N 49°23.222 E 007°12.444 - wird zu folgenden Formeln: Nord: 4925333+4945444+4923222/3 -Ost: 756444+654444+712444/3 - Heraus kommt der Schwerpunkt des Dreiecks - That´s it.
 
OP
robbi_kl

robbi_kl

Geowizard
Weizenkeim1 schrieb:
Heraus kommt der Schwerpunkt des Dreiecks - That´s it.
Nein, leider nicht. Ich suche den Umkreismittelpunkt, also jenen Punkt, der zu allen 3 Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.

Zeichnerisch ist es kein Problem. Rechnerisch wäre es auch einfach, wenn ich nur die trilinearen oder baryzentrischen Koordinaten berechnen müsste. Mit geographischen Koordinaten weiß ich aber nicht, wie es geht.

Der Umkreismittelpunkt ist ja der Schnittpunkt der 3 Mittensenkrechten. Die Mitte einer Seite kann ich auch mit Koordinaten berechnen, die Senkrechte darauf auch (indem ich einfach 90° abziehe), aber dann wieder den Schnittpunkt nicht.

Mopsos soll das angeblich können. Da stehe ich aber wieder mit den Scripten auf Kriegsfuß. :???:
 

t31

Geowizard
nutze Mopsos nicht, meine aber das es das von Haus ohne Script kann.

Rechnerisch kannst du das aber auch mit google und Wiki schnell selbst erarbeiten. Der Vorteil ist, du lernst etwas dabei.
Von den Koordinaten brauchst du dich dabei nicht abschrecken lassen, die kann man in UTM oder GK umrechnen, macht auch jedes GPS, Online-Tools.

Im Cachewolf rechne ich das z.B. so aus:
Code:
### Kreisbestimmung
### gegeben: Festpunkte A, B u. C (Dreieck)
### gesucht: Mittelpunkt M und Radius R des Umkreises
####################################################################
A="N50 40.200 E11 10.210"
B="N50 40.400 E11 10.250"
C="N50 40.450 E11 10.300"
####################################################################
cls();deg()
AB=proj(A,bear(A,B),dist(A,B)/2)
BC=proj(B,bear(B,C),dist(B,C)/2)
$FINAL1=cb(AB,mod(bear(A,B)+90,360),BC,mod(bear(B,C)+90,360))
### AUSGABE ###
"M= "$FINAL1
"R= " dist(A,$FINAL1):#0:"m"
Es ist nichts weiter als der Schnittpunkt zweier Seitenhalbierender.
 
OP
robbi_kl

robbi_kl

Geowizard
t31 schrieb:
Rechnerisch kannst du das aber auch mit google und Wiki schnell selbst erarbeiten.
Schnell erarbeiten - soll ich dir die 3 Koordinaten mal zuschicken und dann die Zeit stoppen, die du bis zum fertigen Ergebnis benötigst? In der Theorie ist das alles so einfach, bei der praktischen Umsetzung hakt es dann mal hier und mal dort.
 
OP
robbi_kl

robbi_kl

Geowizard
t31 schrieb:
Es ist nichts weiter als der Schnittpunkt zweier Seitenhalbierender.
Da bin ich gerade dabei. Was sich aber so simpel anhört, ist mit "händischer" Berechnung schon ein ganzes Stück Arbeit:

1. Man muss die Entfernungen AB, BC und AC berechnen.
2. Man muss die Entfernung zu den Seitenhalbierenden berechnen.
3. Man muss eine Projektion zu den Seitenhalbierenden erstellen, um deren Koordinaten zu erhalten, denn der Abstand alleine nützt ja nichts.
4. Man muss auf diese Koordinaten der Seitenhalbierenden eine Lotrechte projizieren. Dazu brauche ich aber den Winkel der jeweiligen Dreiecksseite (nicht den Winkel im Dreieck, sondern den geographischen Winkel, also den Azimut von A nach B, B nach C, C nach A).
5. Aus diesen 3 Koordinaten und 3 Winkeln kann ich dann eine Kreuzpeilung machen, der Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

--> extrem langwierige Prozedur.

t31 schrieb:
Ich bin natürlich davon ausgegangen, dass du das alles "händisch" machst, weil man sich das ja "mit Google und Wiki schnell selbst erarbeiten" kann. :^^:
Ich nehme aber auch gerne Hilfe an, die mit Tools wie Cachewolf zustandegekommen ist. Die Koordinaten sind per PN unterwegs.
 

t31

Geowizard
robbi_kl schrieb:
Ich bin natürlich davon ausgegangen, dass du das alles "händisch" machst, ...

Die Koordinaten sind per PN unterwegs.
Nunja, ich habe mir das auch erarbeitet, von Haus aus kann der Cachewolf das auch nicht, aber einige Funktionen hat er natürlich schon die es erleichtern. PN ist raus.

Wie schon gesagt, rechne mal in GK um, dann musst du dich nicht mit der sphärischen Trigonometrie herumschlagen.
 

Rabiz

Geocacher
Der Umkreismittelpunkt ist aber der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und nicht derjenige der Seitenhalbierenden (das wäre der Schwerpunkt!).

Um nun den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu finden würde ich einfach eine Peilung von A nach B machen, dann habe ich Entfernung und Richtung, halbiere die Entfernung und habe die Seitenmitte AB. Von hier aus kann ich nun Peilen mit der Richtung A nach B zu- oder abzüglich 90°, in eine beliebige größere Entfernung, und habe den Punkt AB'. Das mache ich dann noch für eine zweite Seite, sagen wir B nach C, erhalte die Punkte BC und BC'. Nun lege ich mit meinem GPS eine Route durch AB, AB', BC und BC', und der Schnittpunkt wird angezeigt, hier kann ich jetzt hinlaufen... Wer Spaß daran hat nimmt noch die dritte Mittelsenkrechte, dann ist es vielleicht noch genauer....

Als Tool würde ich zB den Zwanziger empfehlen. Sollte alles in ein paar Minuten erledigt sein...

Gruß
Rabiz
 
robbi_kl schrieb:
t31 schrieb:
Es ist nichts weiter als der Schnittpunkt zweier Seitenhalbierender.
Da bin ich gerade dabei. Was sich aber so simpel anhört, ist mit "händischer" Berechnung schon ein ganzes Stück Arbeit:
Nö. Wenn man Vektoren verwendet.

1) A+AB/2 = Y (mitte auf AB), B+BC/2 = X (mitte auf BC)
2) Y + n * ABt = Y + m * BCt (Schnittpunkt zweier geraden Gleichungssystem)

robbi_kl schrieb:
--> extrem langwierige Prozedur.
so geht das sogar recht leicht von der Hand, da nur die vier Grundrechenarten verwendet werden.
 
OP
robbi_kl

robbi_kl

Geowizard
Rabiz schrieb:
Der Umkreismittelpunkt ist aber der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und nicht derjenige der Seitenhalbierenden (das wäre der Schwerpunkt!).
Ja, das war versehentlich falsch geschrieben (aber richtig gedacht). Es hat sich allerdings mittlerweile herausgestellt, dass tatsächlich der Schwerpunkt und nicht der Umkreismittelpunkt gesucht war, was für mich aus der Aufgabe nicht hervorging. t31 sei Dank. Insofern ist die Aufgabe mittlerweile gelöst.
 

SDBH-R

Geocacher
Umkreismittelpunkt ist genau das Thema.

1. in UTM (planare, kartesische Koordinaten) umrechnen (siehe u.a. hier)
2. mit GeoGebra die drei Punkte zeichen
3. Kreis durch die 3 Punkte zeichnen lassen
4. Mittelpunkt des Kreises zeichnen lassen
5. Koordinaten des Mittelpunkts ablesen
6. wieder in geografische Koordinaten umwandeln
7. Fertig
 

trassolix

Geonewbie
Im Vergangenen Jahr hatte ich das erste Mal das Problem der Umkreisberechnung. Bei meinen Recherchen bin ich auch auf diesen Artikel gestossen der mir einige Anregungen gegeben hat.
Danke

Ich habe mir dann eine Exelformel erstellt, dabei müssen nur die Koordinaten im UTM oder GK Format in entsprechende Zellen eingetragen werden und es kann sofort den Umkreismittelpunkt ablesen werden.
Interessenten können die Exceltabelle frei nutzen und auf meinen Homepage herrunterladen. --> hier.
 
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